希尔伯特在大学度过了整整八个学期，走完了取得博士学位的必经之路，他开始考虑该选什么题目来做他的学位论文。起初，他想研究他喜欢的连分数的一种推广，但他的博士论文导师林德曼告诉他：很不幸雅可比早就得到了这种推广。林德曼建议他做个代数不变量理论中的问题，因为这个题目的难度对志愿投考博士学位的人来说是恰到好处，既难而又有希望解决。这个题目当时非常热门，希尔伯特在研究中选择了一条和一般人相信能引出结果的办法完全不同的道路。他的创造才能充分显示出他那别出心裁的证明道路。漂亮的工作成绩，使林德曼教授感到相当满意。希尔伯特没有忘记将论文的抄件用快件寄给闵可夫斯基。他的父亲新近去世，此时他正在威斯巴登陪伴他的母亲。闵可夫斯基以极大的兴趣研读了他的论文，并在回信中高度赞扬了他的伙伴。 1884 年12 月11 日，希尔伯特通过了口试，等待着他的最后考验是1885 年2 月7 日，将在大学里最庄严的大厅里举行公开的晋级典礼仪式。届时，他必须面对两名正式指定的“对手”的质疑。希尔伯特选来答辩的两个命题横跨了整个数学领地：第一个是关于用实验确定绝对电磁电阻的方法；第二个涉及到哲学。他以富有说服力的论证结束了答辩，获得了哲学博士学位。现在，希尔伯特已经迈出了他科学生涯的第一步，但仅仅是个哲学博士是没有资格给学生们讲课的，为了取得讲课资格，年轻的博士还得通过一种国家考试。 1885 年5 月，希尔怕特通过了考试。同年夏天，闵可夫斯基回到哥尼斯堡，取得了博士学位，紧接着他就参军服役去了。在大学晋级仪式上，闵可夫斯基的正式“对手”之一就是希尔伯特。没有被召服兵役的希尔伯特为了弥补居住在小城市的不足，想去作一次学习旅行，赫维茨极力主张他去莱比锡找菲力克斯·克莱因。当年克莱因虽然刚刚36 岁，却已是数学界的一位传奇人物。他23 岁时，在埃尔兰根当上了正教授。在就职典礼上，他发表了数学史上称作埃尔兰根纲领的演讲——他大胆地建议，把许多不同的看起来毫无干系的几何，在群的概念下加以统一和分类。希尔伯特选听了克莱因的课，还参加了一个讨论班。这些活动给他留下了深刻的印象。克莱因也很器重希尔伯特——他仔细地保存了希尔伯特在讨论班上提出的报告。他后来还说过：“一听希尔伯特的报告，我就知道他是一个数学方面的后起之秀。” 在莱比锡，相当多的人跟希尔伯特一样对不变量理论感兴趣。在这里，希尔伯特很快成了莱比锡数学界内的一员，他结交了几位年轻的数学家—— 乔治·皮克、爱德华·斯塔迪。本来克莱因特意力促斯塔迪和希尔伯特两位到南方的埃尔兰根去访问他的朋友保尔·果尔丹——当时公认的“不变量之王”。但由于某种原因，大概是希尔伯特不喜欢斯塔迪和他作伴，这趟远征并未成行。 1885 年12 月初，希尔伯特第一篇关于不变量的文章经克莱因提交给了科学院。克莱因自己年轻时曾和他的朋友索弗斯·李相伴去巴黎旅行。两个人都学得了有关群论的知识，这些知识在他们的学术生涯中已经发挥了重大作用，所以克莱因总是试图把每个有培养前途的德国青年数学家送往巴黎。因为赫维茨也支持克莱因的忠告，所以在1886 年3 月的时候，希尔伯特便踏上了去巴黎的旅途。在巴黎，希尔伯特不得不和那位很难相处的斯塔迪协力合作这次由克莱因建立的数学访问。因为斯塔迪也是按照克莱因的劝告，先期到了那里。希尔伯特一安顿下来，就给克莱因写信。这封信证明他对这位教授非常之敬重。他首先极细心地打了一份草稿，措词适当而优美，然后用罗马手写体大字精心书写了一遍，而那时候他给赫维茨写信仍旧用的是歌德体，他遵照克莱因的教诲，和斯塔迪一起先后拜访了庞加莱、约当、埃尔米特等数学家。埃尔米特知道他的年轻客人最关心不变量的课题，他就把他们的注意力引导到这个理论中最著名的，但仍悬而未决的问题上——“果丹尔问题”。这使得埃尔米特成了这些法国科学家中对希尔伯特最有吸引力的一位。希尔伯特在巴黎一心扑在数学上，从不作观光旅行。他在走访和听课之余，用漂亮的书法编辑并抄写了他为取得讲师资格而写的论文，这件工作进展很顺利。6 月底，在回哥尼斯堡的路上，希尔伯特特地到了哥廷根，向正在那里任教的克莱因汇报了在巴黎的情况。 1887 年7 月，希尔伯特在哥尼斯堡顺利通过了获得讲师资格的学术考试。他对自己决定留在较偏僻的哥尼斯堡任教感到满意和欣慰，因为他可以在这里与赫维茨每天去“散步”。人的一生中，20 岁到30 岁是最富于科学创造力的黄金时期，对希尔伯特来说，人生差不多已经过了一半。